【中華百科全書●科學●調和函數】

楊籍富

【中華百科全書●科學●調和函數】

 

關於實變數x、y的實數函數u（x,y）在領（面）域D為一價且具有二次偏導函數，並滿足Laplace方程式(方程式1)時，u稱為在D上的調（諧）和函數（HarmonicFunction）。

 

其性質如下：一、若一複數函數f(z)=u(x,y) iv(x,y)在領域D為一價正則，則有Cauchy-Riemann方程式能成立：ux=vy,uy=-vx且Δu=0,Δv=0,換句話說，函數f（z）的實數部及虛數部為調和函數。

 

二、對於一調和函數u，必有另一調和函數v存在而滿足Cauchy-Riemann方程式，此函數v稱為u的共軛（調和）函數。

 

像這種v，可由D中的任意點（x0,y0）沿著單一正則曲線C到（x,y）的積分(方程式2)來表出。

 

此處φ(y0)為任意函數，也就是此函數v（x,y）除了任意常數φ(y0)外是唯一確定的。

 

反之，如在D取一調和函數u，並由上面之積分式定出函數v，而定義f(z)=u(x,y) iv(x,y)，則f（z）只為z的一價正則函數。

 

三、若u（x,y）在面域D為調和函數時，如果在D的部分面域D為u（x,y）≡A（常數），則u在D亦是常數，即u（x,y）≡A（在D）。

 

四、依正則函數由面域D變換成面域D'時，在D的調和函數也隨著變換成D'上的調和函數。

 

五、若u（x,y）在∣Z∣＜R為調和函數，且在∣Z∣R連續，則對於0r＜R，u可用Fourier級數表成：(方程式3)其中(方程式4)(方程式5)更一般而言，關於ｎ個自變數x1,…,xn之Poisson方程式：(方程式6)=-f(x1,x2,…,xn)於f＝0時，稱為Laplace方程式。

 

滿足Laplace方程式的函數為解析函數，我們也稱此函數u為調和函數。

 

（賴漢卿）

 

引用：http://ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia/data.asp?id=9463