【中華百科全書●科學●微分幾何】

楊籍富

【中華百科全書●科學●微分幾何】

 

微分幾何，是研究可微流型M以及可微流型間之可微映射的學問。

 

微分幾何與微分拓樸研究同樣的對象，只不過在微分幾何裏，通常都額外再假設所考慮的M還具有其他某種結構。

 

例如M上若還有一個黎曼度量結構，則M叫做黎曼流型。

 

這時M上能使這度量保持不變的映射叫做等距映射（Isometry），黎曼幾何就是研究在這等距映射之下得以保持不變的性質。

 

又如M上若具有一個複變結構（ComplexStructure），則M叫做複變流型，這時我們喜歡考慮解析映射（HolomorphicMapping）而發展出一套非常重要的複變流型理論。

 

再如M上如果具有一個辛結構（SymplecticStructure），則M叫做漢米頓流型，這是基礎力學的研究中最重要的工具，這套學問也被人稱為辛幾何（SymplecticGeometry）。

 

像這樣黎曼幾何、複變流型理論以及辛幾何形成微分幾何中的三大主要部門，而這些都共同建基於我們對可微流理之透徹了解。

 

因此，一直等到三、四十年前可微流型之理論被充分發展起來後，微分幾何才得到長足的進步。

 

一個可微流型在每點附近看起來就像是個歐氏空間。

 

因此歐氏空間Rn當然是一個最基本的可微流理，而且以其內積結構做為度量使Rn自然也是一個黎曼流型。

 

因此從一個R1，或者其中之某區間，到R3的可微映射就是空間中的一條曲線。

 

而從R2到R3的可微映射就是空間中的一個曲面。

 

而可以考慮古典微分幾何中為大家所熟悉的曲線論、曲面論等東西。

 

事實上高斯當年所發展出來的許多方法與結果，至今仍為人所津津樂道。

 

在古典微分幾何中的許多概念都被新的概念所取代。

 

例如曲面論中十分繁雜的克利斯多夫符號？

 

被成功地解釋成可微流型M中內在的自然聯繫結構（Connection）D。

 

在M上隨便一點，D能夠把任意兩個切向最X與Y指定到一個新的切向量DXY。

 

因此如果以T代表一條曲線的切向量場，而Y為隨便一個沿著這曲線的向量場，則在此曲線任意點可以考慮DTY。

 

如果在曲線所有點DTYº0，則說Y這向量場沿著這條曲線互相平行。

 

如果T沿著自己的曲線平行，DTYº0，則這條曲線叫做測地線（Geodesic），可以認為就是M中的「直線」。

 

藉著D以及一些張量場的觀念，我們能引入M的曲率。

 

我們也可以重新解釋重要的高斯方程式而寫為：（方程式１）其中X、Y為所考慮子流型N上的切向量場，D為M中原來的連繫結構，我們把DXY分解成切於N的水平部分?

 

XY及垂直於N的部分S(X,Y)。

 

能證明這水平部分就給出了N上新的聯繫結構，而S(X,Y)是一個對稱張量場，叫做第二基本張量（SecondFundamentalTensor）。

 

另外如果一個可微流型還具有結構則叫做一個李氏（LieGroup）。

 

李氏因此也形成微分幾何中被深入研究的對象。

 

特別由於轉換都自然是李氏，所以李氏更侵入任意流型M的研究工作之中。

 

例如考慮M上的主把（PrincipalBundle）P，則其纖維就是一般轉換GL(n,R)。

 

如果G是一個子，我們可以藉著P適當引進G結構的觀念與理論，把微分幾何中許多各形各色的結構都統一起來，看成是某種G結構。

 

因此微分幾何散開來好像很零亂，分成許多不同的部門，但是從轉換G結構的觀點看來，卻又可以把他們統合起來加以比較與了解。

 

（蕭欣忠）

 

引用：http://ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia/data.asp?id=9374