【中華百科全書●科學●線性獨立】

楊籍富

【中華百科全書●科學●線性獨立】

 

令R指所有實數所成的集合；

 

若n為已給定的正整數，n1，並且所有變元xi(1in)均取實數值，將縱行的有序n組(方程式圖1)記作(x1,x2,…,xn)T。

 

所有這類有序n組之全體成一個集合，記作Rn，即Rn={(x1,x2,…,xn)T：所有xiR}，Rn之元素(x1,x2,…,xn)T稱為Rn之點(Point)或向量(Vector)，(x1,x2,…,xn)T稱為Rn之行向量(ColumnVector)，而(x1,x2,…,xn)(未示有T記號者)稱為(Rn之)列向量(RowVector)。

 

我們以x,y,z，或粗體的x、y、z等指謂Rn之任何元素，即x=x=(x1,x2,x3,…,xn)T，y=z=(z1,z2,…,zn)T等。

 

xi稱為x或x的第i分量(i-thComponent)。

 

我們以a、b、c、α、β、γ等指R之元素(實數)，這些均稱為純量(Scalar)。

 

定義：我們可在Rn內定義(行)向量之間的運算，對任何x=(x1,x2,…,xn)T，對任何y=(y1,y2,…,yn)T，對任何αR，令x y=(x1 y1,x2 y2,…,xn yn)T(向量加法)αx=(αx1,αx2,…,αxn)T(向量之純量乘法)0=(0,0,……,0)T(Rn之零向量)-x=(-1)x據此，我們可得到下列結果：〔＊〕對Rn之任何元素x,y,z，對任何純量α、β，下列恆成立：(V0)x yRn,αxRn(V1)x (y z)=(x y) z(V2)x y=y x(V3)x 0=x(V4)x (-x)=0(V5)(αβ)x=α(βx)(V6)(α β)x=αx βx(V7)α(x y)=αx αy(V8)1x=x我們可把上述結果〔＊〕加以推廣，而得到「布於R的向量空間」(關於R的向量空間[VectorSpaceOverR])這一概念。

 

定義：給予一個非空集合V，其元素記作(方程式圖)等，R之元素以α、β、γ記之(也稱為純量)。

 

若能在V內定義二個運算： ：V×V→V⊙：R×V→V(方程式1)(方程式2)(-x表示(-1)x)，若V有元素0(稱為零向量)，使得：對所有x,y,zV，對所有純量α、β：(V0)'x yV,αxV與前面的(V1)至(V8)均成立，則稱V為一個「關於R的向量空間」，或簡稱為「實向量空間」(RealVectorSpace)。

 

我們可將前定義之R改為C(所有複數所成的集合，或複數體)，而得到「關於C的向量空間」；

 

我們也可將R改為任何一個體F(Field,一種具有運算 與‧的代數結構。

 

在運算 之下，F為一阿貝爾；

 

在運算‧之下，F為一阿貝爾，並且滿足x(y z)=xy yz,(y z)x=yx zx這兩個性質)，而得到：「關於F的向量空間」。

 

為方便計，在此只引介「實向量空間」中有關的重要概念，如：線性獨立性、線性相依性、基底、維數。

 

定義：若V為一實向量空間，V之一子空間W就是V之子集(WÍV)，並且在V之運算下，W成一個向量空間。

 

若vi(1ik)為向量空間V之一組元素(向量)，αi(1ik)為一組純量，表示(方程式3)稱為向量(方程式4)之一線性組合(LinearCombination)。

 

一般言之，若{vi：iI}與{αi：iI}各為V之一組向量與純量(I為一指標集)，(方程式5)，指所有向量αivi之和(iI)，也稱{(vi：iI}之一線性組合。

 

我們稱集合(方程式6)所有αiR，iI｝為{(vi：iI}所產生的集合或子空間(因可驗證S確實為V之一子空間)。

 

例：在Rn中，令ei=(0,0,…,0,1,0,…,0)T(ei之第i分量為1，其他所有分量為0)，稱(方程式7)為Rn之標準基底向量(StandardBasisVectors)，Rn之任何點x=(x1,x2,…,xn)T可表示為這些向量之一線性組合(方程式8)產生Rn。

 

例：令F(R)為定義於R的所有實數值函數所成的集合，其元素記作f、g、h等。

 

定f g,αf如下：(f g)(x)=f(x) g(x),(α⊙f)(x)=αf(x)(α為一純量)。

 

在這兩種連算 、⊙下，F(R)成為一實向量空間。

 

若Pn是次數n的所有實係數多項式之集合，則Pn為F(R)之一子空間，「單項式」1,x,x2,…,xn產生Pn。

 

定義：給定向量空間V，產生V之一組向量{vi：iI}。

 

稱{vi：iI}為一線性獨立集(LinearlyIndepentSet)或vi（iI）為線性獨立(LinearlyIndenpent)，當且只當：對所有純量αi（iI），若(方程式9),則所有αi=0。

 

{vi：iI}為線性相依集(LinearlyDepentdentSet)，當且只當：有不全為0的純量αi（iI），使(方程式10)。

 

注意：若指標集I為有限集｛1,2,3,…,k｝，則(方程式11)記作(方程式12)。

 

例：(方程式13)(在Rn內)均為線性獨立。

 

定義：V為n維的實向量空間(n-Di-mensionalRealVectorSpace)，或V之維數為n[dimV=n]，當且只當：V具有一組由n個線性獨立的向量(n為正整數，n1)，但在V內，任何n 1個向量都是線性相依。

 

若V無此種整數，稱V為無限維的實向量空間(InfiniteDimensionalRealVectorSpace)。

 

我們可驗證：在Rn內，任何n l個向量是線性相依的；

 

因此，dimRn=n。

 

我們稱Rn為n維的歐幾里得空間(n-Di-mensionalEuclideanSpace)。

 

定義：給定向量空間V，產生V的一組線性獨立的向量，稱為V之一基底(Basis)。

 

例：(方程式14)為Rn之一基底。

 

注意：若V為n維實向量空間，vi(1in)為V之線性獨立向量，則(方程式15)為V之一基底，並且唯一地產生V。

 

若V為任何實向量空間，dimV=n，則V之每一個基底由n個線性獨立的向量所成。

 

(洪成完)

 

引用：http://ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia/data.asp?id=9364